Ⅴ. 대단원 정리하기 · 삼각비 · 중학교 수학 3학년

02핵심 공식 모음

Essential formulas

F01 · 삼각비 정의 (예각)

SOH-CAH-TOA

$\sin A = \dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}}, \;\cos A = \dfrac{\text{인접변}}{\text{빗변}}, \;\tan A = \dfrac{\text{대변}}{\text{인접변}}$

직각삼각형에서 한 예각에 대해 세 가지 비를 정의.

F02 · 기본 항등식

피타고라스 항등식

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$

피타고라스 정리를 빗변=1로 정규화한 결과.

F03 · 특수각 정확한 값

30°/45°/60° 표

sin: $\tfrac{1}{2}\,/\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,/\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}$
cos: $\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,/\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,/\,\tfrac{1}{2}$
tan: $\tfrac{\sqrt{3}}{3}\,/\,1\,/\,\sqrt{3}$

정삼각형 절반·이등변직각삼각형으로 유도. 모든 문제의 출발점.

F04 · 0°·90° 극한

경계값

$\sin 0°=0, \cos 0°=1, \tan 0°=0$
$\sin 90°=1, \cos 90°=0$
$\tan 90°$ — 정의되지 않음

tan 90°: 분모 cos 90°=0이므로 발산.

F05 · 여각 관계

$\theta$ 와 $90°-\theta$

$\sin\theta = \cos(90°-\theta)$
$\cos\theta = \sin(90°-\theta)$

두 예각의 합이 90°일 때 사인·코사인이 서로 바뀐다.

F06 · 보각 사인

$\sin(180°-\theta) = \sin\theta$

$\sin 120° = \sin 60°$, $\sin 135° = \sin 45°$, $\sin 150° = \sin 30°$

둔각의 사인 = 보각의 사인. 넓이 공식이 둔각에서도 그대로 적용되는 이유.

F07 · 직각삼각형 변 구하기

한 변·한 각이 주어지면

대변 $= $ 빗변 $\times \sin\theta$
인접변 $= $ 빗변 $\times \cos\theta$
대변 $= $ 인접변 $\times \tan\theta$

빗변·인접변·대변 중 어느 하나가 주어졌는지에 따라 적절한 비를 선택.

F08 · 일반 삼각형 — 수선 분할

두 직각삼각형으로

꼭짓점에서 대변(또는 그 연장선)에 수선 → 두 직각삼각형 → 삼각비 적용 + 피타고라스

두 변+끼인각 / 한 변+두 각 모두 같은 분할 전략.

F09 · 삼각형의 넓이

$S = \tfrac{1}{2}ab\sin C$

$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$

두 변과 끼인각만으로. 예각·둔각 통합 공식. 본질은 "sin C = 높이의 비율".

F10 · 평행사변형의 넓이

$S = ab\sin C$

$\displaystyle S = a\,b\,\sin C$

두 합동 삼각형의 합 → ½ 이 사라짐. 두 변과 사잇각으로.

F11 · 사각형 대각선 공식

$S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$

$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}\,d_1\,d_2\,\sin\theta$

네 삼각형의 합. 마름모는 $\theta=90°$ → $\tfrac{1}{2}d_1 d_2$ (옛 공식의 정체).

F12 · 사다리꼴

높이를 사인으로 추출

$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}(a+b)\,h, \quad h = \ell\sin\alpha$

빗변 $\ell$ 과 밑변의 각 $\alpha$ 가 주어지면 높이를 추출 가능.

03역사 연표 — 2200년의 도구

A timeline of trigonometry

BC 190 ~ 120

Hipparchus — 삼각법의 아버지

그리스 천문학자. 별의 위치를 계산하기 위해 최초의 현(chord) 표를 작성. 원의 중심각과 그에 대응하는 현의 길이를 짝지은 표 — 오늘날 사인 함수의 시조다. 그의 표는 분실되었지만 Ptolemy의 저서를 통해 후대에 전승되었다.

AD 100 ~ 170

Ptolemy — Almagest

알렉산드리아의 천문학자. 13권의 대작 『알마게스트』에 0.5° 단위의 정확한 현 표 + Ptolemy의 정리(원에 내접하는 사각형의 대각선 관계)를 수록. 천체 운동 계산의 표준이 1500년간 유지되었다.

AD 476 ~ 550

Aryabhata — 인도식 사인

현 대신 "jya"(자이아, 반-현)를 사용 — 오늘날 sine의 직접 조상. "ardha-jya"가 아랍어 "jiba"로, 다시 라틴어 "sinus"(품, 바다의 만)로 번역되어 sin이 되었다. 이름의 뿌리는 번역의 우연.

AD 858 ~ 929

al-Battani — 코사인·탄젠트의 등장

바그다드 천문학자. 사인뿐 아니라 코사인·탄젠트를 명시적으로 사용한 첫 인물. 1년의 길이를 분 단위까지 정확히 측정. 그의 표는 코페르니쿠스·갈릴레오까지 영향을 미쳤다.

AD 940 ~ 998

Abu al-Wafa — 6개 삼각함수의 통합

페르시아 수학자. sin, cos, tan에 cot, sec, csc까지 추가하여 6개 삼각함수 체계를 완성. 사인 덧셈공식과 반각공식을 발견하여 표의 정밀도를 획기적으로 높였다.

AD 1436 ~ 1476

Regiomontanus — De Triangulis

독일 수학자. 『삼각형에 관하여』(De Triangulis omnimodis)에서 삼각법을 천문학의 부속학문이 아닌 독립된 수학 분야로 정립. 르네상스 유럽 수학의 출발점이 되었다.

AD 1514 ~ 1574

Rheticus — 비례로서의 정의

코페르니쿠스의 제자. 삼각함수를 더 이상 원의 현이 아닌 직각삼각형 변의 비로 명시적으로 정의 — 오늘날 우리가 배우는 정의의 정착자.

AD 1707 ~ 1783

Leonhard Euler — sin x, cos x 현대 표기

스위스 수학자. $\sin x, \cos x, \tan x$ 라는 현대 표기법을 정착시켰다. 또한 삼각함수를 복소수·지수함수와 결합한 오일러 공식 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 를 통해 수학 전체를 통합. 우리가 쓰는 거의 모든 기호의 출처.

04현대의 응용 — 삼각비가 사는 곳

Where trigonometry lives today

A · 측량과 GPS

지구 위의 삼각형

GPS는 세 개 이상의 위성으로부터의 거리를 받아 삼각측량으로 위치를 결정한다. 핵심은 여전히 "한 변과 두 각"이다. 토지 측량, 건설 현장의 수준 측량, 등산용 등고선도 — 모두 삼각비의 직계 후손.

B · 항해와 천문

육분의·천체 항법

대항해 시대에 배는 별의 고도를 육분의로 재고 삼각비로 위도를 결정했다. 현재도 잠수함의 관성항법, 우주 탐사선의 궤도 계산에는 정밀한 삼각함수 표가 필수.

C · 건축과 공학

다리와 첨탑

아치 다리의 곡률, 첨탑의 기울기, 지붕의 경사. 모든 비스듬한 구조물의 응력 계산은 삼각비로 시작한다. 정약용의 수원화성 설계도 같은 원리.

D · 컴퓨터 그래픽스

화면 속 회전

3D 게임의 카메라 회전, 캐릭터 애니메이션, 영화 CGI — 모두 회전 행렬 $\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ 으로 구현된다.

E · 음향과 신호

파동의 분해

음악의 화음, 라디오 신호, 의료 영상 — 모든 파동은 사인·코사인의 합으로 분해된다 (푸리에 분석). 휴대전화 통신도 이 원리.

F · 다음 학년의 예고

고등학교 — 삼각함수

$0° \le \theta \le 90°$ 의 제약을 풀어 모든 실수에 대한 함수 $\sin x, \cos x, \tan x$ 로 확장된다. 주기성·미적분·복소수와 결합하여 수학의 핵심 도구로 자리잡는다.

삼각비 — 2200년의 도구를 손에 쥐다

01개념 지도